Persamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan

Persamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan. Catatan persamaan nilai mutlak ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar "Mengintepretasi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear Aljabar lainnya" atau "Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel."

Definisi Nilai Mutlak

---

Secara geometris, Nilai Mutlak suatu bilangan real adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

Untuk $a$ bilangan real, $\left| a \right|$ dibaca nilai mutlak $a$, didefinisikan
$ \left| a \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
a & ,\text{untuk}\ a \geq 0 \\
-a & ,\text{untuk}\ a \lt 0
\end{array} \right. $

Untuk membaca definisi di atas dapat kita coba sederhanakan menjadi dua bagian yaitu:

• Saat $a \geq 0$ maka nilai $ \left| a \right| = a$,
  Misal:
  1. $ \left| 6 \right| = 6 $
  2. $ \left| 0 \right| = 0 $
  3. $ \left| 0,7 \right| = 0,7 $
  4. $ \left| \pi \right| = \pi $
  5. $ \left| \dfrac{2}{5} \right| = \dfrac{2}{5} $
• Saat $a \lt 0$ maka nilai $ \left| -a \right| = - \left( -a \right)=a$,
  Misal:
  1. $ \left| -5 \right| = - \left( -5 \right)=5 $
  2. $ \left| -1,4 \right| = - \left( -1,4 \right)=1,4 $
  3. $ \left| -0,2 \right| = - \left( -0,2 \right)=0,2 $
  4. $ \left| -\dfrac{3}{7} \right| = - \left( -\dfrac{3}{7} \right)=\dfrac{3}{7} $
  5. $ \left| -\pi \right| = - \left( -\pi \right)=\pi $

Untuk memahami definisi nilai mutlak ini, kita coba pilih soal dari buku matematika wajib SMA kurikulum 2013 kelas x (sepuluh).
Gunakan Definisi Nilai Mutlak untuk menentukan nilai mutlak berikut.

1. Tentukan $ \left| x+2 \right|$ untuk $x$ bilangan real.
   Jawab:
   
   • Saat $x+2 \geq 0$ atau $x \geq -2$ maka $\left| x+2 \right|=x+2$
   • Saat $x+2 \lt 0$ atau $x \lt -2$ maka $\left| x+2 \right|=- \left( x+2 \right)=-x-2$
2. Tentukan $ \left| x-3 \right|$ untuk $x$ bilangan real.
   Jawab:
   
   • Saat $x-3 \geq 0$ atau $x \geq 3$ maka $\left| x-3 \right|=x-3$
   • Saat $x-3 \lt 0$ atau $x \lt 3$ maka $\left| x-3 \right|=- \left( x-3 \right)=-x+3$
3. Tentukan $ \left| 2x+3 \right|$ untuk $x$ bilangan real.
   Jawab:
   
   • Saat $2x+3 \geq 0$ atau $x \geq -\dfrac{3}{2}$ maka $\left| 2x+3 \right|=2x+3$
   • Saat $2x+3 \lt 0$ atau $x \lt -\dfrac{3}{2}$ maka $\left| 2x+3 \right|=- \left( 2x+3 \right)=-2x-3$

Sifat Nilai Mutlak

---

• Untuk $a$ bilangan real, $ \left| a \right| = \sqrt{a^{2}} $
• Untuk $a,b$ bilangan real, $ \left| a \cdot b \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right| $
• Untuk $a,b$ bilangan real, $ \left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|},\ b \neq 0 $

Soal dan Pembahasan Defenisi Nilai Mutlak

---

Untuk lebih memahami defenisi nilai mutlak mari kita simak beberapa soal latihan berikut yang kita pilih soal dari buku matematika wajib SMA kurikulum 2013 kelas x (sepuluh) Uji Kompetensi 1.1

1. Tentukanlah nilai mutlak untuk setiap bentuk berikut ini

a. Nilai mutlak dari bentuk $\left| -8n \right|$ untuk $n$ bilangan asli adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

$n$ adalah bilangan asli sehingga $-8n$ selalu bernilai negatif atau $-8n \lt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| -8n \right| & = - \left( -8n \right) \\
& = 8n \\
\end{align}$

b. Nilai mutlak dari bentuk $\left| 2\sqrt{3}-3 \right|$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Nilai $2\sqrt{3}= \sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{12}$ dan $3=s\sqrt{9}$ kita peroleh $2\sqrt{3} \gt 3$, sehingga $2\sqrt{3}-3$ bernilai positif atau $2\sqrt{3}-3 \gt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| 2\sqrt{3}-3 \right| & = 2\sqrt{3}-3 \\
\end{align}$

c. Nilai mutlak dari bentuk $\left| \dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{5} \right|$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Nilai $\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{35}$ dan $\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{35}$ kita peroleh $\dfrac{3}{7} \gt \dfrac{2}{5}$, sehingga $\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5}$ bernilai positif atau $\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} \gt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} \right| & = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} \\
\end{align}$

d. Nilai mutlak dari bentuk $\left| 12 \times \left( -3 \right) : \left( 2-5 \right) \right|$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left| 12 \times \left( -3 \right) : \left( 2-5 \right) \right| & = \left| 12 \times \left( -3 \right) : \left( -3 \right) \right| \\
& = \left| 12 \times 1 \right| \\
& = \left| 12 \right|=12 \\
\end{align}$

e. Nilai mutlak dari bentuk $\left| 2^{5}-3^{3} \right|$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Nilai $2^{5}=32$ dan $3^{3}=27$ kita peroleh $2^{5} \gt 3^{3}$, sehingga $2^{5} - 3^{3}$ bernilai positif atau $2^{5} - 3^{3} \gt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| 2^{5} - 3^{3} \right| & = 2^{5} - 3^{3} \\
\end{align}$

f. Nilai mutlak dari bentuk $\left| 12^{\frac{1}{2}}- 24^{\frac{3}{2}} \right|$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Nilai $24^{\frac{3}{2}}=24 \cdot 24^{\frac{1}{2}}$ kita peroleh $12^{\frac{1}{2}} \lt 24^{\frac{3}{2}}$, sehingga $12^{\frac{1}{2}}- 24^{\frac{3}{2}}$ bernilai negatif atau $12^{\frac{1}{2}}- 24^{\frac{3}{2}} \lt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| 12^{\frac{1}{2}}- 24^{\frac{3}{2}} \right| & = - \left( 12^{\frac{1}{2}}- 24^{\frac{3}{2}} \right) \\
& = - 12^{\frac{1}{2}} + 24^{\frac{3}{2}}\\
\end{align}$

g. Nilai mutlak dari bentuk $\left| \left( 3n \right)^{2n-1} \right|$, $n$ bilangan asli adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk $n$ bilangan asli nilai $\left( 3n \right)^{2n-1}$ yang terkecil adalah $\left( 3(1) \right)^{2(1)-1}=3$, sehingga $\left( 3n \right)^{2n-1}$ selalu bernilai positif atau $\left( 3n \right)^{2n-1} \gt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| \left( 3n \right)^{2n-1} \right| & = \left( 3n \right)^{2n-1} \\
\end{align}$

h. Nilai mutlak dari bentuk $\left| 2n - \dfrac{1}{n+1} \right|$, $n$ bilangan asli adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk $n$ bilangan asli nilai $\left| 2n - \dfrac{1}{n+1} \right|$ yang terkecil adalah $ 2(1) - \dfrac{1}{(1)+1} =\dfrac{3}{2}$ sehingga $ 2n - \dfrac{1}{n+1} $ selalu bernilai positif atau $2n - \dfrac{1}{n+1} \gt 0$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left| 2n - \dfrac{1}{n+1} \right| & = 2n - \dfrac{1}{n+1} \\
\end{align}$

2. Manakah pernyataan berikut ini yang merupakan pernyataan bernilai benar? Berikan alasanmu.

a. $\left| k \right|=k$, untuk setiap $k$ bilangan asli.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan $\left| k \right|=k$, untuk setiap $k$ bilangan asli adalah PERNYATAAN yang BENAR. Karena untuk $k$ bilangan asli maka nilai $k \gt 0$ sehingga $\left| k \right|=k$.

b. $\left| x \right|=x$, untuk setiap $x$ bilangan bulat.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan $\left| x \right|=x$, untuk setiap $x$ bilangan bulat adalah PERNYATAAN yang SALAH. Karena untuk $x$ bilangan bulat maka nilai $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ sehingga $\left| x \right|=x$ adalah salah misal saat $x =-3$.

c. Jika $\left| x \right|=-2$, maka $x=-2$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan Jika $\left| x \right|=-2$, maka $x=-2$ adalah PERNYATAAN yang SALAH. Karena saat $\left| x \right|=-2$ nilai $x$ yang mungkin tidak hanya $x=-2$ tetapi mungkin $x=2$.

d. Jika $2t-2 \gt 0$ maka $\left| 2t-2 \right|=2t-2$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan Jika $2t-2 \gt 0$ maka $\left| 2t-2 \right|=2t-2$ adalah PERNYATAAN yang BENAR. Karena sesuai dengan definisi nilai mutlak $\left| x \right|=x$ untuk $x \geq 0$

e. Jika $\left| x+a \right|=b$, dengan $a,\ b,\ x$ bilangan real, maka nilai $x$ yang memenuhi hanya $x=b-a$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan Jika $\left| x+a \right|=b$, dengan $a,\ b,\ x$ bilangan real, maka nilai $x$ yang memenuhi hanya $x=b-a$ adalah PERNYATAAN yang SALAH. Karena ada nilai $x$ yang lain yang memenuhi yaitu $x=-b-a$.

f. Jika $\left| x \right|=0$, maka tidak ada $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan Jika $\left| x \right|=0$, maka tidak ada $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan adalah PERNYATAAN yang SALAH. Karena ada nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=0$.

g. Nilai mutlak semua bilangan real adalah bilangan non negatif.

Alternatif Pembahasan:

Show

Pernyataan Nilai mutlak semua bilangan real adalah bilangan non negatif adalah PERNYATAAN yang BENAR. Karena hasil dari nilai mutlak adalah bilangan non negatif yaitu bilangan positif atau bilangan nol.

Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

---

Di awal sudah disebutkan bahwa nilai mutlak suatu bilangan real $x$ merupakan jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Atau dapat kita tuliskan, nilai $\left| x-a \right|$ dapat diartikan sebagai jarak dari $a$ ke $x$.
Sebagai contoh, jika $\left| x-2 \right|=5$ maka artinya $x$ berjarak $5$ unit di sebelah kanan $2$ atau $x$ berjarak $5$ unit di sebelah kiri $3$. Untuk ilustrasinya perhatikan gambar berikut:

Jadi penyelesaian $\left| x-2 \right|=5$ adalah $\{ -3,7 \}$
Secara umum dapat kita tuliskan sifat persamaan nilai mutlak yaitu:

Jika $a \geq 0$, maka $\left| f(x) \right|=a \Leftrightarrow\ f(x)=a\ \text{atau}\ f(x)=-a$

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

---

Untuk lebih memahami nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak mari kita simak beberapa soal latihan berikut.

3. Hitunglah nilai $x$ (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut. Jika tidak ada nilai $x$ yang memenuhi, berikan alasanmu.

a. $\left| 4-3x \right|=\left| -4 \right|$.

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| 4-3x \right| &= \left| -4 \right| \\
\left| 4-3x \right| &= 4 \end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 4-3x \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \leq \frac{4}{3} \\ 4-3x & = 4 \\ -3x &= 4-4 \\ -3x &= 0 \\ x &= \frac{0}{-3} \\ x &= 0 \\ \end{align} Nilai $x=0$ memenuhi untuk syarat $x \leq \frac{4}{3}$ sehingga $x=0$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 4-3x \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \gt \frac{4}{3} \\ -\left( 4-3x \right) & = 4 \\ 4-3x & = -4 \\ -3x &= -4-4 \\ -3x &= -8 \\ x &= \frac{-8}{-3} \\ x &= \frac{8}{3} \\ \end{align} Nilai $x=\frac{8}{3}$ memenuhi untuk syarat $x \gt \frac{4}{3}$ sehingga $x=\frac{8}{3}$ merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II

\begin{align} \left| 4-3x \right| & = 4 \\ \sqrt{ \left( 4-3x \right)^{2} } & = 4 \\ \left( 4-3x \right)^{2} & = 4^{2} \\ 16-24x+9x^{2} & = 16 \\ 9x^{2}-24x & = 0 \\ 3x \left(3x-8 \right) & = 0 \\ x=0\ \text{atau}\ x = \frac{8}{3} & \\ \end{align}

Pada cara ini, nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = 0 \\ \left| 4-3(0) \right| & = 4 \\ \left| 4 \right| & = 4\ \ \text{Benar} \\ \hline \text{untuk}\ & x = \frac{8}{3} \\ \left| 4-3 \left( \frac{8}{3} \right) \right| & = 4 \\ \left| 4-8 \right| & = 4 \\ \left| -4 \right| & = 4\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ Himpunan penyelesaian $\left( 0,\ \frac{8}{3} \right)$

b. $2\left| 3x-8 \right|= 10 $.

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
2\left| 3x-8 \right| &= 10 \\
\left| 3x-8 \right| &= 5 \end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 3x-8 \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \geq \frac{8}{3} \\ 3x-8 & = 5 \\ 3x &= 5+8 \\ 3x &= 13 \\ x &= \frac{13}{3} \end{align} Nilai $x=\frac{13}{3}$ memenuhi untuk syarat $x \geq \frac{8}{3}$ sehingga $x=\frac{13}{3}$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 3x-8 \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \lt \frac{8}{3} \\ -\left(3x-8 \right) & = 5 \\ 3x-8 & = -5 \\ 3x &= -5+8 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \\ \end{align} Nilai $x=1$ memenuhi untuk syarat $x \lt \frac{8}{3}$ sehingga $x=1$ merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II

\begin{align} \left| 3x-8 \right| &= 5 \\ \sqrt{ \left( 3x-8 \right)^{2} } & = 5 \\ \left( 3x-8 \right)^{2} & = 5^{2} \\ 9x^{2}-48x+64 & = 25 \\ 9x^{2}-48x+39 & = 0 \\ \left(3x-3 \right)\left(3x-13 \right) & = 0 \\ x=1\ \text{atau}\ x = \frac{13}{3} & \\ \end{align}

Pada cara ini, nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = 1 \\ \left| 3(1)-8 \right| & = 5 \\ \left| -5 \right| & = 5\ \ \text{Benar} \\ \hline \text{untuk}\ & x = \frac{13}{3} \\ \left| 3 \left( \frac{13}{3} \right) - 8 \right| & = 5 \\ \left| 13-8 \right| & = 5 \\ \left| 5 \right| & = 5\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ Himpunan penyelesaian $\left( 1,\ \frac{13}{3} \right)$

c. $2x+ \left| 3x-8 \right|= -4 $.

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
2x+ \left| 3x-8 \right| &= -4 \\
\left| 3x-8 \right| &= -4-2x \\
\end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 3x-8 \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \geq \frac{8}{3} \\ 3x-8 & = -4-2x \\ 3x+2x &= -4+8 \\ 5x &= 4 \\ x &= \frac{4}{5} \end{align} Nilai $x=\frac{4}{5}$ tidak memenuhi untuk syarat $x \geq \frac{8}{3}$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 3x-8 \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \lt \frac{8}{3} \\ -\left(3x-8 \right) & = -4-2x \\ 3x-8 & = 4+2x \\ 3x-2x &= 4+8 \\ x &= 12 \\ \end{align} Nilai $x=12$ tidak memenuhi untuk syarat $x \lt \frac{8}{3}$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II

\begin{align} \left| 3x-8 \right| &= -4-2x \\ \sqrt{ \left( 3x-8 \right)^{2} } & = -4-2x \\ \left( 3x-8 \right)^{2} & = \left( -4-2x \right)^{2} \\ 9x^{2}-48x+64 & = 4x^{2}+16x+16 \\ 5x^{2}-64x+48 & = 0 \\ \left(x-12 \right)\left(5x-4 \right) &= 0 \\ x=12\ \text{atau}\ x = \frac{4}{5} & \\ \end{align}

Pada cara ini nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = 12 \\ \left| 3(12)-8 \right| & = -4-2\left( \frac{13}{3} \right) \\ \left| 28 \right| & = -\frac{12}{3}- \frac{26}{3} \\ \left| 28 \right| & = -\frac{38}{3}\ \ \text{Salah} \\ \hline \text{untuk}\ & x = \frac{5}{4} \\ \left| 3\left( \frac{4}{5} \right)-8 \right| & = -4-2\left( \frac{4}{5} \right) \\ \left| \frac{12}{5} - \frac{40}{5} \right| & = - \frac{20}{5} - \frac{8}{5} \\ \left| -\frac{28}{5} \right| & = -\frac{28}{5}\ \ \text{Salah} \\ \end{align} $\therefore$ Tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian

d. $5 \left| 2x-3 \right|= 2 \left| 3-5x \right| $.

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
5 \left| 2x-3 \right| &= 2 \left| 3-5x \right| \\
\left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\
\end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| 10x-15 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
10x-15,\ \text{untuk}\ x \geq \frac{3}{2} \\
-\left( 10x-15 \right),\ \text{untuk}\ x \lt \frac{3}{2}
\end{array} \right.$

$\left| 6-10x \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
6-10x,\ \text{untuk}\ x \leq \frac{3}{5} \\
-\left( 6-10x \right),\ \text{untuk}\ x \gt \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq \frac{3}{5}$ atau $\frac{3}{5} \lt x \lt \frac{3}{2}$ atau $ x \geq \frac{3}{2}$.

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & x \leq \frac{3}{5} \\ \left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\ -\left( 10x-15 \right) &= 6-10x \\ -10x+15 &= 6-10x \\ 15 &= 6\ \ \text{Salah} \end{align} $\therefore$ Tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & \frac{3}{5} \lt x \lt \frac{3}{2} \\ \left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\ 10x-15 &= 6-10x \\ 10x-15 &= 6-10x \\ 10x+10x &= 6+15 \\ 20x &= 21 \\ x &=\frac{21}{20} \\ \end{align} Nilai $x=\frac{21}{20}$ memenuhi untuk syarat $\frac{3}{5} \lt x \lt \frac{3}{2}$ sehingga $x=\frac{21}{20}$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & x \geq \frac{3}{2} \\ \left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\ 10x-15 &= -\left( 6-10x \right) \\ 10x-15 &= -6+10x \\ -15 &= -6\ \ \text{Salah} \end{align} $\therefore$ Tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II

\begin{align} \left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\ \sqrt{ \left( 10x-15 \right)^{2} } & = \sqrt{ \left( 6-10x \right)^{2} } \\ \left( 10x-15 \right)^{2} & = \left( 6-10x \right)^{2} \\ 100x^{2}-300x+225 & = 100x^{2}-120x+36 \\ -180x & = -189 \\ x & = \frac{-189}{-180}=\frac{21}{20} \\ \end{align}

Pada cara ini nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = \frac{21}{20} \\ \left| 10x-15 \right| &= \left| 6-10x \right| \\ \left| 10 \cdot \frac{21}{20} -15 \right| &= \left| 6-10 \cdot \frac{21}{20} \right| \\ \left| \frac{21}{2} - \frac{30}{2} \right| &= \left| \frac{12}{2} - \frac{21}{2} \right| \\ \left| - \frac{9}{2} \right| &= \left| - \frac{9}{2} \right|\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ $x=\frac{21}{20}$ merupakan himpunan penyelesaian

e. $2x+ \left| 8-3x \right|= \left| x-4 \right| $.

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
2x+ \left| 8-3x \right|= \left| x-4 \right| \end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| 8-3x \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
8-3x,\ \text{untuk}\ x \leq \frac{8}{3} \\
-\left( 8-3x \right),\ \text{untuk}\ x \gt \frac{8}{3}
\end{array} \right.$

$\left| x-4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x-4,\ \text{untuk}\ x \geq 4 \\
-\left( x-4 \right),\ \text{untuk}\ x \lt 4
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq \frac{8}{3}$ atau $\frac{8}{3} \lt x \lt 4$ atau $ x \geq 4$.

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & x \leq \frac{8}{3} \\ 2x+ \left| 8-3x \right| &= \left| x-4 \right| \\ 2x+ 8-3x &= -(x-4) \\ 8-x &= -x+4 \\ 8 &= 4\ \text{Salah} \end{align} $\therefore$ Tidak ada nilai $x$ yang merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & \frac{8}{3} \lt x \lt 4 \\ 2x+ \left| 8-3x \right| &= \left| x-4 \right| \\ 2x- 8+3x &= - x+4 \\ 5x-8 &= - x+4 \\ 6x &= 12 \\ x &= 2 \\ \end{align} Nilai $x=2$ tidak memenuhi untuk syarat $\frac{8}{3} \lt x \lt 4$ sehingga $x=2$ bukan merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & x \geq 4 \\ 2x+ \left| 8-3x \right| &= \left| x-4 \right| \\ 2x- 8+3x &= x-4 \\ 5x-8 &= x-4 \\ 4x &= 4 \\ x &= 1 \end{align} Nilai $x=1$ tidak memenuhi untuk syarat $ x \geq 4$ sehingga $x=1$ bukan merupakan himpunan penyelesaian.

$\therefore$ Pada $2x+ \left| 8-3x \right|= \left| x-4 \right| $ Tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

---

1. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left| 3x+6 \right|= 9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{1, 3 \} \\
(B)\ & \{-2, 3 \} \\
(C)\ & \{3, 4 \} \\
(D)\ & \{1, 4 \} \\
(E)\ & \{-5, 1 \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| 3x+6 \right|= 9 \end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 3x+6 \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \geq -2 \\ 3x+6 & = 9 \\ 3x &= 9-6 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \\ \end{align} Nilai $x=1$ memenuhi untuk syarat $x \geq -2$ sehingga $x=1$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 3x+6 \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \lt -2 \\ -\left( 3x+6 \right) & = 4 \\ 3x+6 & = -9 \\ 3x &= -9-6 \\ 3x &= -15 \\ x &= -5 \\ \end{align} Nilai $x=-5$ memenuhi untuk syarat $x \lt -2$ sehingga $x=-5$ merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II
\begin{align} \left| 3x+6 \right| & = 9 \\ \sqrt{ \left( 3x+6 \right)^{2} } & = 9 \\ \left( 3x+6 \right)^{2} & = 9^{2} \\ 9x^{2}+36x+36 & = 81 \\ 9x^{2}+36x-45 & = 0 \\ x^{2}+4x-5 & = 0 \\ \left(x-1 \right)\left(x+5 \right) & = 0 \\ x=1\ \text{atau}\ x = -5 & \\ \end{align}	Pada cara ini, nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = 0 \\ \left| 3x+6 \right| & = 9 \\ \left| 3(1)+6 \right| & = 9 \\\\ \left| 9 \right| & = 9\ \ \text{Benar} \\ \hline \text{untuk}\ & x = -5 \\ \left| 3(-5)+6 \right| & = 9 \\ \left| -15+6 \right| & = 9 \\ \left| -9 \right| & = 9\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ Himpunan penyelesaian $\{-5, 1 \} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{-5, 1 \}$

2. Himpunan penyelesaian persamaan $\left| 8-4x \right|= 12$ adalah $\{ p,q \}$. Nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| 8-4x \right|= 12 \end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 8-4x \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \leq 2 \\ 8-4x & = 12 \\ -4x &= 12-8 \\ -4x &= 4 \\ x &= -1 \\ \end{align} Nilai $x=-1$ memenuhi untuk syarat $x \leq 2$ sehingga $x=-1$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 8-4x \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \gt 2 \\ -\left( 8-4x \right) & = 12 \\ 8-4x & = -12 \\ -4x &= -12-8 \\ -4x &= -20 \\ x &= 5 \\ \end{align} Nilai $x= 5$ memenuhi untuk syarat $x \gt 2$ sehingga $x= 5$ merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II
\begin{align} \left| 8-4x \right| & = 12 \\ \sqrt{ \left( 8-4x \right)^{2} } & = 9 \\ \left( 8-4x \right)^{2} & = 12^{2} \\ 16x^{2}-64x+64 & = 144 \\ 16x^{2}-64x-80 & = 0 \\ x^{2}-4x-5 & = 0 \\ \left(x+1 \right)\left(x-5 \right) & = 0 \\ x=-1\ \text{atau}\ x = 5 & \\ \end{align}	Pada cara ini, nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = -1 \\ \left| 8-4x \right| & = 12 \\ \left| 8-4(-1) \right| & = 12 \\ \left| 12 \right| & = 12\ \ \text{Benar} \\ \hline \text{untuk}\ & x = 5 \\ \left| 8-4x \right| & = 12 \\ \left| 8-4(5) \right| & = 12 \\ \left| -12 \right| & = 12\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ Himpunan penyelesaian $\{-1, 5 \} $

Nilai $p+q=-1+5=-4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

3. Nilai $x$ yang memenuhi $\left| 2x+5 \right|= 14-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{ 3,19 \} \\
(B)\ & \{ -19,3 \} \\
(C)\ & \{ 3 \} \\
(D)\ & \{ 19 \} \\
(E)\ & \{ -3,19 \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| 2x+5 \right|= 14-x \end{align}

Cara I
\begin{align} \text{untuk}\ & 2x+5 \geq 0 \\ \text{maka}\ & x \geq -\frac{5}{2} \\ 2x+5 & = 14-x \\ 2x+x &= 14-5 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ \end{align} Nilai $x=3$ memenuhi untuk syarat $x \geq -\dfrac{5}{2}$ sehingga $x=3$ merupakan himpunan penyelesaian.	\begin{align} \text{untuk}\ & 2x+5 \lt 0 \\ \text{maka}\ & x \lt -\frac{5}{2}\ \\ -\left( 2x+5 \right) & = 14-x \\ -2x-5 & = 14-x \\ -2x+x &= 14+5 \\ -x &= 19 \\ x &= -19 \\ \end{align} Nilai $x= -19$ memenuhi untuk syarat $x \lt - \frac{5}{2}$ sehingga $x= -19$ merupakan himpunan penyelesaian.

Cara II

\begin{align} \left| 2x+5 \right| & = 14-x \\ \sqrt{ \left( 2x+5 \right)^{2} } & = 14-x \\ \left( 2x+5 \right)^{2} & = \left( 14-x \right)^{2} \\ 4x^{2}+20x+25 & = 256-28x+x^{2} \\ 3x^{2}-48x-231 & = 0 \\ x^{2}-16x-77 & = 0 \\ \left(x-3 \right)\left(x+19 \right) & = 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x = -19 & \\ \end{align}

Pada cara ini, nilai $x$ harus diperiksa ke soal. \begin{align} \text{untuk}\ & x = 3 \\ \left| 2x+5 \right| & = 14-x \\ \left| 2(3)+5 \right| & = 14-3 \\ \left| 11 \right| & = 11 \ \ \text{Benar} \\ \hline \text{untuk}\ & x = -19 \\ \left| 2x+5 \right| & = 14-(-19) \\ \left| 2(-19)+5 \right| & = 14+19 \\ \left| -33 \right| & = 33\ \ \text{Benar} \\ \end{align} $\therefore$ Himpunan penyelesaian $\{-19, 3 \} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{ -19,3 \}$

4. Nilai $x$ yang memenuhi $\left| x^{2}-8x+14 \right|= 2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{ 2,4,9 \} \\
(B)\ & \{ 4,6,9 \} \\
(C)\ & \{ 2,5,6 \} \\
(D)\ & \{ 2,4,6 \} \\
(E)\ & \{ 2,5,6 \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| x^{2}-8x+14 \right|= 2 \end{align}

\begin{align} \text{untuk}\ x^{2}-&8x+14 \geq 0 \\ \text{maka}\ x \leq 4-\sqrt{2}\ \vee & x \geq 4+\sqrt{2} \\ x^{2}-8x+14 & = 2 \\ x^{2}-8x+14-2 &= 0 \\ x^{2}-8x+12 &= 9 \\ \left( x-2 \right)\left( x-6 \right) &= 0 \\ x =2\ \vee x=6\ & \\ \end{align} Nilai $x=2$ atau $x=6$ memenuhi syarat, sehingga $x=2$ atau $x=6$ merupakan himpunan penyelesaian.

\begin{align} \text{untuk}\ x^{2}-&8x+14 \lt 0 \\ \text{maka}\ 4-\sqrt{2} \lt & x \lt 4+\sqrt{2} \\ -\left( x^{2}-8x+14 \right) & = 2 \\ x^{2}-8x+14 & = -2 \\ x^{2}-8x+14+2 &= 0 \\ x^{2}-8x+16 &= 0 \\ \left( x-4 \right)\left( x-4 \right) &= 0 \\ x =4\ \vee x=4\ & \\ \end{align} Nilai $x= 4$ memenuhi untuk syarat, sehingga $x= 4$ merupakan himpunan penyelesaian.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{ 2,4,6 \}$

5. Nilai $x$ yang memenuhi $\left| 2x+4 \right| - \left| 3-x \right| = -1$.
$\begin{align}
(A)\ & \{-6,2 \} \\
(B)\ & \{-4, 3 \} \\
(C)\ & \{-\dfrac{2}{3}, 4 \} \\
(D)\ & \{-6, \dfrac{2}{3} \} \\
(E)\ & \{-6, -\dfrac{2}{3} \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
\left| 2x+4 \right| - \left| 3-x \right| = -1 \end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| 2x+4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
2x+4,\ \text{untuk}\ x \geq -2 \\
-\left( 2x+4 \right),\ \text{untuk}\ x \lt -2
\end{array} \right.$

$\left| 3-x \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
3-x,\ \text{untuk}\ x \leq 3 \\
-\left( 3-x \right),\ \text{untuk}\ x \gt 3
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \lt -2$ atau $-2 \leq x \leq 3$ atau $ x \gt 3$.

\begin{align} \text{untuk}\ & x \lt -2 \\ \left| 2x+4 \right| - \left| 3-x \right| & = -1 \\ -\left( 2x+4 \right) - \left( 3-x \right) & = -1 \\ -2x-4 -3+x & = -1 \\ -x & = -1+7 \\ x &= -6 \\ \end{align} Nilai $x=-6$ memenuhi untuk syarat $x \lt -2$ sehingga $x=-6$ merupakan himpunan penyelesaian.

\begin{align} \text{untuk}\ -2 \leq & x \leq 3 \\ \left| 2x+4 \right| - \left| 3-x \right| & = -1 \\ \left( 2x+4 \right) - \left( 3-x \right) & = -1 \\ 2x+4 - 3 + x & = -1 \\ 3x & = -1-1 \\ x &= \frac{-2}{3} \\ \end{align} Nilai $x=\frac{-2}{3}$ memenuhi untuk syarat $-2 \lt x \lt 3 $ sehingga $x=\frac{-2}{3}$ merupakan himpunan penyelesaian.

\begin{align} \text{untuk}\ & x \gt 3 \\ \left| 2x+4 \right| - \left| 3-x \right| & = -1 \\ \left(2x+4 \right) + \left( 3-x \right) & = -1 \\ 2x+4 + 3-x & = -1 \\ x & = -1-7 \\ x &= -8 \end{align} Nilai $x=-8$ tidak memenuhi untuk syarat $ x \gt 3$ sehingga $x=-8$ bukan merupakan himpunan penyelesaian.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{-6, -\dfrac{2}{3} \}$

6. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan nilai mutlak $3\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| =4 \times 2\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| - 30$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x=-\frac{1}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{6} \\
(B)\ & x=-\frac{3}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{6} \\
(C)\ & x=-\frac{3}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{2} \\
(D)\ & x= \frac{1}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{6} \\
(E)\ & x= \frac{3}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{align}
3\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right|=4 \times 2\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| - 30 \\
\end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| 3x-\frac{3}{2} \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
3x-\frac{3}{2},\ \text{untuk}\ x \geq \frac{1}{2} \\
-\left( 3x-\frac{3}{2} \right),\ \text{untuk}\ x \lt \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh dua batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \geq \frac{1}{2}$ dan $x \lt \frac{1}{2}$.

\begin{align} \text{untuk}\ & x \geq \frac{1}{2} \\ 3\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| & = 4 \times 2\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| - 30 \\ 3\ \left( 3x-\frac{3}{2} \right) & = 4 \times 2\ \left( 3x-\frac{3}{2} \right) - 30 \\ 9x-\frac{9}{2} & =24x-12 - 30 \\ 9x-\frac{9}{2} & =24x-42 \\ 18x-9 & =48x-84 \\ 84-9 & =48x-18x \\ 75 & =30x \\ x & =\frac{75}{30}=\frac{5}{2} \\ \end{align} Nilai $x=\frac{5}{2}$ memenuhi untuk syarat $x \geq \frac{1}{2}$ sehingga $x=\frac{5}{2}$ merupakan himpunan penyelesaian.

\begin{align} \text{untuk}\ & x \lt \frac{1}{2} \\ 3\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| & = 4 \times 2\ \left| 3x-\frac{3}{2} \right| - 30 \\ 3\ \left(-\left( 3x-\frac{3}{2} \right) \right) & = 4 \times 2\ \left(-\left( 3x-\frac{3}{2} \right) \right) - 30 \\ -9x+\frac{9}{2} & =-24x+12 - 30 \\ -9x+\frac{9}{2} & =-24x-18 \\ -18x+9 & =-48x-36 \\ -18x+48x & =-36-9 \\ 30x & =-45 \\ x & =\frac{-45}{30}=-\frac{3}{2} \\ \end{align} Nilai $x=-\frac{3}{2}$ memenuhi untuk syarat $x \lt \frac{1}{2}$ sehingga $x=-\frac{3}{2}$ merupakan himpunan penyelesaian.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x=-\frac{3}{2} \text{atau}\ x= \frac{5}{2}$