Bilangan Berpangkat Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013

Bilangan Berpangkat, sebagai contoh soal dan soal latihan yang kita diskusikan dipilih dari Buku Siswa Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013.

Catatan ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar yang diharapkan pemerintah dapat dicapai oleh peserta didik, yaitu Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. Atau menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.

DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT

---

Bilangan Berpangkat adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis. Banyaknya bilangan pokok yang dikalikan secara berulang disebut eksponen.
Secara umum dapat kita tuliskan;

$a^{n}= \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a \times a}}$
$n:$ Bilangan pangkat (eksponen), dimana $n$ adalah bilangan bulat positif
$a:$ Bilangan Pokok (basis)

Contoh:

1. $3^{2} =3 \times 3$
2. $5^{4} =5 \times 5 \times 5 \times 5$
3. $b^{5}=b \times b \times b \times b \times b$
4. $\pi^{4}=\pi \times \pi \times \pi \times \pi$
5. $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{3}=\left( \dfrac{2}{3} \right) \times \left( \dfrac{2}{3} \right) \times \left( \dfrac{2}{3} \right) $
6. $\left(-15 \right)^{5} =\left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right)$
7. $- 15 ^{5} =- 15 \times 15 \times 15 \times 15 \times 15 $

Soal Latihan dan Pembahasan Bilangan Berpangkat Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013

Sebagai bahan latihan dalam menerapkan definisi bilangan berpangkat untuk menyelesaikan masalah, kita coba soal latihan yang dipilih dari buku matematika SMP kelas IX (sembilan) kurikulum 2013.

1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan

a. $\left( -2 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -2 \right)$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada bentuk perkalian $\left( -2 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -2 \right)$ bilangan pokok $\left( -2 \right)$ dikalikan sebanyak $3$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( -2 \right)^{3}$.

b. $\left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right)$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada bentuk perkalian $\left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right)$ bilangan pokok $\left( \dfrac{1}{5} \right)$ dikalikan sebanyak $5$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( \dfrac{1}{5} \right)^{5}$.

c. $\left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right)$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada bentuk perkalian $\left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right)$ bilangan pokok $\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ dikalikan sebanyak $5$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( -\dfrac{2}{3} \right)^{5}$.

d. $t \times t \times t \times t \times t \times t$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada bentuk perkalian $t \times t \times t \times t \times t \times t$ bilangan pokok $t$ dikalikan sebanyak $6$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $t^{5}$.

e. $y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada bentuk perkalian $y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y$ bilangan pokok $y$ dikalikan sebanyak $10$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $y^{10}$.

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk perkalian berulang.

a. $3^{8}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $3^{8}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$.

b. $\left(0,83 \right)^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $\left(0,83 \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $\left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right)$.

c. $t^{3}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $t^{3}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $t \times t \times t$.

d. $\left( -\dfrac{1}{4} \right)^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $\left( -\dfrac{1}{4} \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $\left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right)$.

e. $-\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $-\left(\dfrac{1}{4} \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $-\left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right)$.

3. Tentukan hasil dari perpangkatan berikut.

a. $2^{8}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
2^{8}\ & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 32 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 64 \times 2 \times 2 \\
& = 128 \times 2 \\
& = 256 \\
\end{align}$

b. $5^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
5^{4}\ & = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 25 \times 5 \times 5 \\
& = 125 \times 5 \\
& = 625 \\
\end{align}$

c. $\left(0,02 \right)^{2}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left(0,02 \right)^{2}\ & = 0,02 \times 0,02 \\
& = 0,0004 \\
\end{align}$

d. $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{3}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{9} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{27} \right) \\
\end{align}$

e. $-\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
-\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4}\ & = -\left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{16} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{64} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{256} \right) \\
\end{align}$

4. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis $10$.

a. $1.000$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
1.000\ & = 100 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{3} \\
\end{align}$

b. $100.000$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
100.000\ & = 100 \times 1000 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\\
& = 10^{5} \\
\end{align}$

c. $1.000.000$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
1.000.000\ & = 100.000 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{6} \\
\end{align}$

d. $10.000.000$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
10.000.000\ & = 1.000.000 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{7} \\
\end{align}$

5. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis $2$.

a. $256$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
256\ & = 128 \times 2 \\
& = 64 \times 2 \times 2 \\
& = 32 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{8} \\
\end{align}$

b. $64$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
64\ & = 32 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{6} \\
\end{align}$

c. $512$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
512\ & = 256 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{9} \\
\end{align}$

d. $1.048.576$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
1.048.576\ & = 2048 \times 512 \\
& = 4 \times 512 \times 512 \\
& = 2 \times 2 \times 2^{9} \times 2^{9} \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \times \cdots \times 2 \\
& = 2^{20} \\
\end{align}$

6. Tuliskan sebagai bentuk perpangkatan dengan basis $5$.

a. $5$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
5\ & = 5^{1} \\
\end{align}$

b. $625$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
625\ & = 125 \times 5 \\
& = 25 \times 5 \times 5 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{4} \\
\end{align}$

c. $15.625$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
15.625\ & = 25 \times 625 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{6} \\
\end{align}$

d. $125$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
125\ & = 25 \times 5 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{3} \\
\end{align}$

7. Tentukan hasil dari operasi berikut ini.

a. $5+3 \times 2^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
5+3 \times 2^{4}\ & = 5+3 \times 16 \\
& = 5+48 \\
& = 53 \\
\end{align}$

b. $\dfrac{1}{2} \left( 6^{3}-4^{2} \right)$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left( 6^{3}-4^{2} \right)\ & = \dfrac{1}{2} \left( 216-16 \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( 200 \right) \\
& = 100 \\
\end{align}$

c. $8+3 \times \left( -3 \right)^{4}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
8+3 \times \left( -3 \right)^{4}\ & = 8+3 \times \left( -3 \right)^{4} \\
& = 8+3 \times 81 \\
& = 8+243 \\
& = 251 \\
\end{align}$

d. $ \left( 6^{4}-4^{4} \right) : 2 $

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left( 6^{4}-4^{4} \right) : 2\ & = \left( 1.296-256 \right) : 2 \\
& = \left( 1.040 \right) : 2 \\
& = 520 \\
\end{align}$

e. $ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} \times \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{2} $

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} \times \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{4 \times 4 \times 4 \times 4} \right) \times \left( \dfrac{ (-1) \times (-1)}{3 \times 3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{256} \right) \times \left( \dfrac{ 1}{9} \right) \\
& = \dfrac{1}{256 \times 9} \\
& = \dfrac{1}{2304} \\
\end{align}$

f. $ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} : -\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} $

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} : \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) : -\left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{4 \times 4 \times 4 \times 4} \right) : -\left( \dfrac{ 1 \times 1}{3 \times 3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{256} \right) : -\left( \dfrac{ 1}{9} \right) \\
& = \dfrac{1}{256} \times -\dfrac{9}{1} \\
& = -\dfrac{9}{256} \\
\end{align}$

8. Temukan nilai $x$ pada persamaan matematika di bawah ini.

a. $7^{x}=343$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
7^{x}\ & = 343 \\
7^{x}\ & = 49 \times 7 \\
7^{x}\ & = 7 \times 7 \times 7 \\
7^{x}\ & = 7^{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=3$.

b. $2^{x}=64$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
2^{x}\ & = 64 \\
2^{x}\ & = 32 \times 2 \\
2^{x}\ & = 16 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 2^{6} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=6$.

c. $10^{x}=10.000$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
10^{x}\ & = 10.000 \\
10^{x}\ & = 1000 \times 10 \\
10^{x}\ & = 100 \times 10 \times 10 \\
10^{x}\ & = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
10^{x}\ & = 10^{4} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=4$.

d. $5^{x}=625$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
5^{x}\ & = 625 \\
5^{x}\ & = 25 \times 5 \\
5^{x}\ & = 5 \times 5 \times 5 \\
5^{x}\ & = 5^{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=3$.

9. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP Kelas IX

Tim peneliti dari Dinas Kesehatan suatu daerah di Indonesia Timur meneliti suatu wabah yang sedang berkembang di Desa $X$. Tim peneliti tersebut menemukan fakta bahwa wabah yang berkembang disebabkan oleh virus yang tengah berkembang di Afrika. Dari hasil penelitian didapatkan bahwa virus tersebut dapat berkembang dengan cara membelah diri menjadi $3$ virus setiap setengah jam dan menyerang sistem kekebalan tubuh. Berapa jumlah virus dalam tubuh manusia setelah $6$ jam?

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada soal dikatakan bahwa virus berkembang dengan membelah diri menjadi $3$ setiap setengah jam. Karena banyak virus mula-mula tidak diketahui, kita anggap banyak virus pertama kali masuk ke dalam tubuh manusia adalah $1$.

• Banyak virus pertama kali masuk: $1$
• Banyak virus setelah $0,5\ jam$ adalah $1 \times 3 =3$
• Banyak virus setelah $1\ jam$ adalah $3 \times 3= 9$
• Banyak virus setelah $1,5\ jam$ adalah $9 \times 3 = 27$
• Banyak virus setelah $2\ jam$ adalah $27 \times 3 = 81$
• Banyak virus setelah $2,5\ jam$ adalah $81 \times 3 = 243$
• Banyak virus setelah $3\ jam$ adalah $243 \times 3 = 729$
• Banyak virus setelah $3,5\ jam$ adalah $729 \times 3 = 2.187$
• Banyak virus setelah $4\ jam$ adalah $2.187 \times 3 = 6.561$
• Banyak virus setelah $4,5\ jam$ adalah $6.561 \times 3 = 19.683$
• Banyak virus setelah $5\ jam$ adalah $19.683 \times 3 = 59.049$
• Banyak virus setelah $5,5\ jam$ adalah $59.049 \times 3 = 177.147$
• Banyak virus setelah $6\ jam$ adalah $177.147 \times 3 = 531.441$

Banyak virus setelah $6$ jam dengan banyak virus mula-mula $1$ adalah $531.441$

10. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP Kelas IX

Tantangan. Dalam sebuah penelitian, diketahui seekor amoeba $S$ berkembang biak dengan membelah diri sebanyak $2$ kali tiap $15$ menit.

1. Berapa jumlah amoeba $S$ selama satu hari jika dalam suatu pengamatan terdapat $4$ ekor amoeba $S$?
2. Berapa jumlah amoeba $S$ mula-mula sehingga dalam $1$ jam terdapat minimal $1.000$ Amoeba $S$?

Alternatif Pembahasan:

Show