Definisi Notasi Sigma, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan

Definisi Notasi Sigma, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan. Notasi sigma ini sebagai tambahan dalam belajar Induksi matematika, belajar deret bilangan aritmatika, atau belajar deret bilangan aritmatika.

Sigma pada huruf kapital Yunani disimbolkan dengan $\sum $ sedangkan untuk huruf kecil disimbolkan dengan $\sigma$. Simbol yang digunakan untuk Notasi Sigma adalah $\sum $, yang diperkenalkan pertama kali tahun 1755 oleh Leonhard Euler.

Dalam bidang keilmuan, simbol huruf besar sigma, $\sum $ digunakan sebagai lambang penjumlahan. Dapat dituliskan, Notasi Sigma merupakan bentuk penulisan dari penjumlahan suku-suku $U_{1} + U_{2} + U_{3} + \cdots + U_{n}$, dimana suku-suku tersebut diatur menurut pola tertentu.

Bentuk umum dari notasi sigma adalah:

$\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$
dibaca: "sigma $U_{i}$ dengan $i$ dari $1$ sampai $n$" atau "sigma $i = 1$ sampai dengan $n$ dari $U_{i}$".

Dimana:
$\begin{align}
i:\ & \text{Batas bawah} \\
n:\ & \text{Batas atas} \\
U_{n}:\ & \text{Suku ke-n}
\end{align}$

Sebagai contoh, mari kita simak contoh berikut:

1. $\sum\limits_{i=3}^{10}3i$
   $\begin{align}
   & = 3(3) + 3(4) +\cdots+ 3(9) + 3(10) \\
   & = 9+12+\cdots+27+30 \\
   \end{align}$
2. $\sum\limits_{i=1}^{5} \left( 2i+3\right)$
   $\begin{align} & = \left( 2(1)+3\right)+\left( 2(2)+3\right)+\left( 2(3)+3\right)+\left( 2(4)+3\right)+\left( 2(5)+3\right) \\
   & = 5+7+9+11+13 \\
   \end{align}$
3. $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 2 \right)^{n}$
   $\begin{align} & = \left( 2 \right)^{6} +\left( 2 \right)^{7} +\left( 2 \right)^{8} +\cdots+\left( 2 \right)^{11} +\left( 2 \right)^{12} \\
   \end{align}$
4. $\sum\limits_{n=2}^{12} \left( -1 \right)^{n}\left( 2 \right)^{n-3}$
   $\begin{align} & = \left( -1 \right)^{2}\left( 2 \right)^{2-3} +\left( -1 \right)^{3}\left( 2 \right)^{3-3}+\cdots+\left( -1 \right)^{11}\left( 2 \right)^{11-3}+\left( -1 \right)^{12}\left( 2 \right)^{12-3} \\
   & = \left( 1 \right)\left( 2 \right)^{-1} +\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{0}+\cdots+\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{8}+\left( 1 \right) \left( 2 \right)^{9} \\
   & = 2^{-1} -1 + 2 +\cdots- \left( 2 \right)^{8}+ \left( 2 \right)^{9} \\
   \end{align}$

Contoh soal notasi sigma berikutnya adalah kebalikan dari contoh soal di atas yaitu menentukan bentuk notasi sigma dari deret bilangan yang diberikan. Bentuk soal untuk menentukan notasi sigma dari suatu deret bilangan bisa jadi soal yang sangat mudah atau jadi soal sulit. Tergantung dari kreatifitas yang membuat soal untuk menyembunyikan pola bilangan.

1. Ubahlah bentuk deret $2+4+6+8+\cdots+100$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
   $\begin{align}
   & 2+4+6+8+\cdots+100 \\
   & = 2 \left(1 \right) +2 \left( 2 \right)+ 2 \left( 3 \right)+2 \left(4 \right)+\cdots+2 \left(50 \right) \\
   & = \sum\limits_{i=1}^{50} \left( 2i \right) \\
   \end{align}$
2. Ubahlah bentuk deret $1+4+7+10+\cdots+298$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
   $\begin{align}
   & 1+4+7+10+\cdots+298 \\
   & = \left(3(1)-2 \right) +\left(3(2)-2 \right)+ \left(3(3)-2 \right)+\cdots+\left(3(100)-2 \right) \\
   & = \sum\limits_{n=1}^{100} \left( 3n-2 \right) \\
   \end{align}$

Sifat-sifat Notasi Sigma

---

• $\sum\limits_{i=1}^{n} k = n \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
• $\sum\limits_{i=a}^{n} k = \left(n-a+1 \right) \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
• $\sum\limits_{i=1}^{n} k \cdot U_{i}=k \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}$, dimana $k=\text{konstanta}$
• $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( U_{i}+V_{i} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}+\sum\limits_{i=1}^{n} V_{i} $
• $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( U_{i}-V_{i} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}-\sum\limits_{i=1}^{n} V_{i} $
• $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} U_{i-a} $ atau $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} U_{i+a} $
• $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $, dimana $1 \lt a \lt n$

Soal dan Pembahasan Notasi Sigma

---

Untuk menggunakan beberapa sifat notasi sigma dalam menyelesaikan soal mari kita simak beberapa soal latihan berikut.

1. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 14+18+22+26+30 \\
(B)\ & 18+22+26+30+34+36 \\
(C)\ & 14+18+22+26+30+34 \\
(D)\ & 14+17+20+23+26+29 \\
(E)\ & 15+18+21+24+30+33
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$
$\begin{align}
& = \left( 4(4)-2 \right) + \left( 4(5)-2 \right) +\cdots+\left( 4(8)-2 \right) +\left( 4(9)-2 \right) \\
& = 14+18+\cdots+30+34 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14+18+22+26+30+34$

2. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & -192+96-48+24- \cdots -384 \\
(B)\ & 48-24+12-6+3- \cdots -384 \\
(C)\ & 192-96+48-24+ \cdots -384 \\
(D)\ & -48+24-12+6-3+ \cdots -384 \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1+\cdots -64
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$
$\begin{align}
& = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5-1}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-4-1}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{4-1} \\
& = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-6}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{3} \\
& = \dfrac{1}{ 2^{3}} - \dfrac{1}{2^2} +\cdots + 8 (-8) \\
& = \dfrac{1}{ 8} - \dfrac{1}{4} +\cdots -64 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1+\cdots -64$

3. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{10} y^{3}+x^{9} y^{4}+x^{8} y^{5}+ \cdots + x^{3} y^{10} \\
(B)\ & x^{10} y +x^{9} y^{2} +x^{8} y^{3}+ \cdots + x y^{10} \\
(C)\ & x^{10} +x^{9} y +x^{8} y^{2}++x^{7} y^{3}+ \cdots + y^{10} \\
(D)\ & x^{10} y^{10}+x^{9} y^{9}+x^{8} y^{8}+ \cdots + xy \\
(E)\ & x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$
$\begin{align}
& = x^{2-1} \cdot y^{2} + x^{3-1} \cdot y^{3} + x^{4-1} \cdot y^{4} + \cdots + x^{10-1} \cdot y^{10} \\
& = x^{1} \cdot y^{2} + x^{2} \cdot y^{3} + x^{3} \cdot y^{4} + \cdots + x^{9} \cdot y^{10} \\
& = x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10}$

4. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $5+8+11+14+17+\cdots+47$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=1}^{16} \left( 3n+2 \right) \\
(B)\ & \sum\limits_{n=1}^{16} \left( 3n-1 \right) \\
(C)\ & \sum\limits_{n=2}^{13} \left( 3n+8 \right) \\
(D)\ & \sum\limits_{n=3}^{18} \left( 3n-4 \right) \\
(E)\ & \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& 5+8+11+14+17+\cdots+47 \\
& = 6-1+9-1+12-1+15-1+18-1+\cdots+48-1 \\
& = \left( 3(2)-1 \right) +\left( 3(3)-1 \right)+\left( 3(4)-1 \right)+\left( 3(5)-1 \right)+\cdots+\left( 3(16)-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{16} \left( 3n-1 \right) \\
\hline & = (5)+(3+5)+(6+5)+(9+5)+(12+5)+\cdots+(42+5) \\
& = \left( 3(0)+5 \right) +\left( 3(1)+5 \right)+\left( 3(2)+5 \right)+\left( 3(3)+5 \right)+\cdots+\left( 3(14)+5 \right) \\
& = \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right) \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right)$

5. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Uraian bentuk $32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16}$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=3}^{10} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+2} \\
(B)\ & \sum\limits_{n=3}^{7} 32 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-3} \\
(C)\ & \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot \left( 2 \right)^{1-n} \\
(D)\ & \sum\limits_{n=3}^{13}2^{8-n} \\
(E)\ & \sum\limits_{n=3}^{11}2^{6-n} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& 32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16} \\
& = 2^{5}+2^{4}+2^{3}+\cdots+2^{-4} \\
& = \sum\limits_{n=-5}^{4} 2^{-n} \\
& = \sum\limits_{n=-5+6}^{4+6} 2^{-(n-6)} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{-n+6} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{5} \cdot 2^{-n+1} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot 2^{1-n} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot \left( 2 \right)^{1-n}$

6. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20 \\
(B)\ & 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 4 \\
(C)\ & 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20 \\
(D)\ & \left[ \sum\limits_{n=2}^{6} \left(3n-2 \right) \right]^{2} \\
(E)\ & \sum\limits_{n=2}^{6}\left(3n-2 \right)\ \sum\limits_{n=2}^{6}\left(3n-2 \right) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2} \\
& = \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 9n^{2}-12n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{6} 9n^{2}- \sum\limits_{n=2}^{6} 12n + \sum\limits_{n=2}^{6} 4 \\
& = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + \left( 6-2+1 \right) \cdot 4 \\
& = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + 20 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20$

7. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) $ sama nilainya dengan...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right) \sum\limits_{n=5}^{9} \left( n-3 \right) \\
(B)\ & 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 15 \\
(C)\ & 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 135 \\
(D)\ & 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 60 \\
(E)\ & 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-6n+5n-15 \right) \\
& = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-n-15 \right) \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \sum\limits_{n=5}^{9} 15 \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \left( 9-5+1 \right) \cdot 15 \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75$

8. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) $ senilai dengan...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}+9n+13 \right) \\
(B)\ & \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 2n^{2}+5n-4 \right) \\
(C)\ & \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) \\
(D)\ & \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) \\
(E)\ & \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}+5n-4 \right) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1+3}^{6+3} \left( 2(n-3)^{2}-3(n-3)+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-12n+18-3n+9+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right)$

9. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) $ senilai dengan...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=2}^{8} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right) \\
(B)\ & \sum\limits_{n=2}^{7} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right) \\
(C)\ & \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n-4 \right)\left( 4n+5 \right) \\
(D)\ & \sum\limits_{n=2}^{7} \left( -3n-6 \right)\left( 3n-5 \right) \\
(E)\ & \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n-7 \right)\left( 10-4n \right) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) \\
& = \sum\limits_{n=4-2}^{10-2} \left( 3(n+2)-1 \right)\left( 2-4(n+2) \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+6-1 \right)\left( 2-4n-8 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+5 \right)\left( -4n-6 \right) \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right)$

10. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} $ jika diubah kedalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n+4}{24-3n} \\
(B)\ & \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} \\
(C)\ & \sum\limits_{n=2}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} \\
(D)\ & \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-6}{11-3n} \\
(E)\ & \sum\limits_{n=2}^{7} \dfrac{2n-6}{11-3n} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} \\
& = \sum\limits_{n=4-1}^{8-1} \dfrac{2(n+1)-4}{8-3(n+1)} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n+2-4}{8-3n-3} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n}$

11. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 54 \\
(B)\ & 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 6 \\
(C)\ & 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 9 \\
(D)\ & 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}+4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 12 \\
(E)\ & 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}+4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 6 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 4n^{2}-12n+9 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{8} 4n^{2}- \sum\limits_{n=3}^{8} 12n + \sum\limits_{n=3}^{8} 9 \\
& = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + \left( 8-3+1 \right) \cdot 9 \\
& = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + 54 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 54$

12. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -200 \\
(B)\ & -120 \\
(C)\ & -55 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 72 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7-6}^{16-6} \left( 2(n+6)-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n+11 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 - 2n-11 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( -20 \right) \\
& = \left( 10-1+1 \right)(-20)=-200 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -200$

13. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -24 \\
(C)\ & -36 \\
(D)\ & -48 \\
(E)\ & -52 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5-2}^{8-2} \left( 4(n+2)-2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n+6 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3-4n-9 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( -12 \right) \\
& = \left( 6-3+1 \right)(-12)=-48 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -48$

14. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 82 \\
(B)\ & 87 \\
(C)\ & 90 \\
(D)\ & 120 \\
(E)\ & 147 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=6-5}^{12-5} \left( 5(n+5)-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)- \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 - 5n-2 \right)+ \left( 5(1)+2 \right) \\
& = \left( 7-1+1 \right) (20)+ \left( 7 \right) =147 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 147$

15. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80$ sama nilai-nya dengan...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=1}^{5} (n-4)^{2} \\
(B)\ & \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2} \\
(C)\ & \sum\limits_{n=1}^{5} (n-2)^{2} \\
(D)\ & \sum\limits_{n=1}^{5} (n-3)^{2} \\
(E)\ & \sum\limits_{n=1}^{5} (n+2)^{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80 \\
& = \sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4)^{2}-8\sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16 \right) - 8 \sum\limits_{n=1}^{5} (n+4) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8(n+4) \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8n-32 \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + \sum\limits_{n=1}^{5} \left( 16 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16+16 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2}$

16. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Bentuk sederhana dari $\sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-19 \right) \\
(B)\ & \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right) \\
(C)\ & \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n+4 \right) \\
(D)\ & \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n-19 \right) \\
(E)\ & \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n-5 \right) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1+2}^{20+2} 2(n-2) \left(2(n-2)+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4 \left( n-2 \right)^{2} - \left( 2n-3 \right) \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} (2n-4) \left(2n-1 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-16n+16 - 2n+3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-18n+19 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 -4n^{2}+18n-19 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right) \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right)$

17. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right) $. Nilai $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $,
maka agar persamaan berikut: $\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right)$
bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=8+1=9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

18. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) = \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) $. Nilai $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 14 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= -\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

19. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) = \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) $. Nilai $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) -\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=12$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

20. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) $. Nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 36 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 8 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) \\
\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) + \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right)& = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ dan $q$ yang memenuhi adalah $p=5+1=6$ dan $q=20$. Nilai $p+q=26$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 26$

21. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) =p+ \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right)$ maka nilai $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 15 \\
(E)\ & 18 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} U_{i} + \sum\limits_{i=a+1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = p + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\
\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ adalah:
$\begin{align}
p & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) \\
& = 3^{2}+1 \\
& =10 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

22. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Nilai $\sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 18 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 22 \\
(D)\ & 24 \\
(E)\ & 32 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} U_{i-a} $ atau $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i} = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} U_{i+a} $,
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5-2}^{16-2} \left( 3(n+2)-10 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2-3n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 2 \right) \\
& = \left( 14-3+1 \right)(2)=24 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 24$

23. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) = \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n}$ dan berlaku $\sum\limits_{n=13}^{27} X_{n}=10$, maka nilai $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 15 \\
(E)\ & 16 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) &= \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n} \\
\sum\limits_{n=13}^{27} 6 + \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} &= k \cdot \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} \\
\left( 27-13+1 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\
\left( 15 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\
90 + 10 &= k \cdot 10 \\
100 &= k \cdot 10 \\
k &= 10 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

24. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 63 \\
(B)\ & 82 \\
(C)\ & 98 \\
(D)\ & 124 \\
(E)\ & 196 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=5-2}^{12-2} \left( 8(n+2)+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+16+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21-5n-16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 3n+5 \right) \\
&= \left( 3 \cdot 3+5 \right) + \left( 3 \cdot 4+5 \right)+\left( 3 \cdot 5+5 \right)+\cdots+\left( 3 \cdot 10+5 \right)\\
&= 14 + 17 +20+\cdots+35 \\
&= 196 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

25. Soal Latihan Matematika Notasi Sigma

$\sum\limits_{x=5}^{n+5} 4 \left( x-3 \right)$ dapat dinyatakan menjadi $Pn^{2}+Qn+R$. Nilai dari $P+Q-R=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show